APPUNTI DI SISTEMISTICA (nona parte)

IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Parleremo questa volta di argomenti apparentemente astratti e non immediatamente riconducibili alla costruzione di un sistema ben individuato, come abitualmente abbiamo fatto sinora: siamo costretti a farlo, dal momento che si tratta di nozioni indispensabili per il prosieguo di questo nostro viaggio alla scoperta della sistemistica.
Non essendo in grado di conoscere a priori il livello di preparazione dei nostri lettori non ci possiamo proprio esimere dal trattare queste aride nozioni, almeno a livello elementare: confidiamo nella pazienza di tutti coloro che non avrebbero necessità di "rispolverare" i loro ricordi scolastici e il cui grado di preparazione è di gran lunga superiore al livello semplicemente informale di queste brevi note che seguiranno.
Ogni volta che ci siamo occupati di sistemi ridotti o biridotti abbiamo sempre utilizzato i concetti di:

a.      colonna base

b.     correzione di n errori rispetto alla colonna base

In effetti essi hanno un'importanza basilare in sistemistica.
Oltre a questi due principi, ricordiamo anche una diversa forma di classificazione colonnare, di cui già abbiamo parlato nella 4^ puntata: si tratta delle "Formule Derivate", intuizione introdotta in sistemistica dallo studioso Alfonso Musso.
Esiste un metodo per calcolare il numero di colonne costituenti n errori in un qualsiasi sistema (limitatamente ai sistemi di sole doppie la correzione di errori è sempre riconducibile ad una F.D. univoca).

Tale metodo è detto del "Triangolo di Tartaglia".
I più ricorderanno certamente che questo "triangolo" è utilizzato in matematica per calcolare i coefficienti dei binomi.
Questa intuizione è dovuta alla genialità di un matematico italiano, Niccolò Tartaglia.
In realtà conosciamo molto poco di lui: non sappiamo neppure il suo vero cognome.
Egli nacque a Brescia verso la fine del XV secolo (nel 1499 o nel 1500) e morì a Venezia nel 1557.
Quando egli era ancora bambino, nel 1512, durante il "sacco" di Brescia da parte dell'invasore francese, fu ferito gravemente al volto.
Non guarì mai completamente, tanto da non riacquistare più l'uso normale della parola; a causa della sua balbuzie venne soprannominato Tartaglia, perché, appunto, tartagliava.
Egli, tra l'altro, fu il primo a tradurre in una lingua moderna gli Elementi di Euclide e i suoi studi furono prevalentemente autodidattici, perché, nato da famiglia indigente, non ebbe modo, nella sua giovinezza, di poter avere un'istruzione ortodossa.
Ma veniamo ora al cosiddetto "triangolo": la somma numerica di ciascuna delle sue righe orizzontali corrisponde alla successione delle potenze in base 2 di tutti i numeri naturali.
Questa caratteristica lo rende idoneo, in sistemistica, al calcolo del numero delle colonne necessarie alla correzione di n errori nei sistemi di sole doppie.
Eccolo di seguito, anche se noi ci limiteremo ad esaminare, all'occorrenza, un massimo di 14 righe, perché il gioco del Totocalcio è articolato, in Italia, su 14 eventi (o partite che dir si voglia).

														1															partite
													1		1														1
												1		2		1													2
											1		3		3		1												3
										1		4		6		4		1											4
									1		5		10		10		5		1										5
								1		6		15		20		15		6		1									6
							1		7		21		35		35		21		7		1								7
						1		8		28		56		70		56		28		8		1							8
					1		9		36		84		126		126		84		36		9		1						9
				1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1					10
			1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1				11
		1		12		66		220		495		792		924		792		495		220		66		12		1			12
	1		13		78		286		715		1287		1716		1716		1287		715		286		78		13		1		13
1		14		91		364		1001		2002		3003		3432		3003		2002		1001		364		91		14		1	14

Posto che la base del triangolo potrebbe proseguire all'infinito, va detto che i due lati uguali del triangolo sono sempre costituiti dal numero 1, mentre ciascun termine intermedio si ottiene sommando tra loro i due numeri superiori (quello di destra e quello di sinistra).Se esaminiamo una qualsiasi riga orizzontale del triangolo, ad esempio quella relativa a 4 partite (= 4 doppie), notiamo che la somma di tutti i termini è appunto uguale a 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1), cioè 2 ^ 4, ovvero lo sviluppo integrale di 4 doppie.In particolare su 4 doppie avremo:

a.      1 colonna con zero errori (F.D. 4-0-0)

b.     4 colonne con un errore (F.D. 3-1-0)

c.      6 colonne con due errori (F.D. 2-2-0)

d.     4 colonne con tre errori (F.D. 1-3-0)

e.      1 colonna con quattro errori (F.D. 0-0-4)

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 colonne.

In definitiva il primo numero (1) corrisponde alla colonna con zero errori (=base), il secondo numero (4) al totale delle colonne con 1 errore, il terzo numero (6) al totale delle colonne con 2 errori, il quarto numero (4) al totale delle colonne con 3 errori, il quinto numero (1) alla colonna con 4 errori.Le medesime considerazioni valgono, relativamente ai sistemi di sole doppie, per ciascuna delle righe orizzontali el triangolo di Tartaglia. Prova ne sia il sistema esaminato la volta scorsa, ovvero 5 doppie (1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 colonne).Più complesso è, invece, il calcolo della correzione di errori per i sistemi articolati su sole varianti triple: infatti, su ogni riga, ciascun termine del triangolo di Tartaglia va moltiplicato per le progressive potenze in base 2 (2 elevato zero, 2 alla prima, 2 alla seconda, 2 alla terza, 2 alla quarta e così via).Perciò per 4 triple avremo:1*2^0 + 4*2^1 + 6*2^2 + 4*2^3 + 1*2^4 = 81 colonneQuindi:

a.      

a.      1 colonna con zero errori (F.D. 4-0-0, Vedasi anche la 4^ Puntata di questa rubrica)

b.     8 colonne con un errore (F.D. 3-1-0 e 3-0-1)

c.      24 colonne con due errori (F.D. 2-2-0, 2-1-1 e 2-0-2)

d.     32 colonne con tre errori (F.D. 1-3-0, 1-2-1, 1-1-2 e 1-0-3)

e.      16 colonne con quattro errori (F.D. 0-4-0, 0-3-1, 0-2-2, 0-1-3 e 0-0-4)

Decisamente complicato, infine, è il calcolo della correzione di errori su un sistema impuro (costituto cioè, tanto da varianti triple, quanto da varianti doppie).Faremo un esempio pratico per chiarire il procedimento, calcolando quante colonne occorrono per correggere 4 errori su un sistema di 4 triple e 4 doppie. Conviene suddividere i sistemi misti in due sezioni, una riservata alle varianti triple e una alle varianti doppie, considerando, poi, tutte le possibili disposizioni degli errori sulle 2 sezioni.Per la disposizione di quattro errori su 4 triple e 4 doppie su due sezioni avremo:

TUTTE LE POSSIBILI DISPOSIZIONI DI 4 ERRORI SU 2 SEZIONI (4 TRIPLE E 4 DOPPIE)

TRIPLE	4	3	2	1	0
DOPPIE	0	1	2	3	4
	16*1	32*4	24*6	8*4	1*1
	16	128	144	32	1

La soprastante tabella va interpretata nel modo seguente:

a.      la combinazione 4-0 genera 16 colonne (4 errori su 4 triple per 0 errori su 4 doppie = 16*1)

b.     la combinazione 3-1 genera 128 colonne (3 errori su 4 triple per 1 errore su 4 doppie = 32*4)

c.      la combinazione 2-2 genera 144 colonne (2 errori su 4 triple per 2 errori su 4 doppie = 24*6)

d.     la combinazione 1-3 genera 32 colonne (1 errore su 4 triple per 3 errori su 4 doppie = 8*4)

e.      la combinazione 0-4 genera 1 colonna (0 errori su 4 triple per 4 errori su 4 doppie = 1*1)

Perciò le colonne contenenti 4 errori su un sistema di 4 triple e 4 doppie saranno, in totale

16 + 128 + 144 + 32 + 1 = 321

Analogamente possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia per calcolare il rapporto di riduzione teorico di un sistema.
Già conosciamo la semplice formula per calcolare il R.R. relativo ai sistemi n-1.
Con l'ausilio del Triangolo di Tartaglia potremo ora calcolare anche il rapporto di riduzione teorico relativamente alla biriduzione o alla tririduzione.
Valgono tutte le considerazione già espresse in questa pagina, tenendo presente che, per calcolare un rapporto di biriduzione
dovremo sommare i valori in tabella relativamente alla colonna base, più uno e due errori.
Per calcolare un rapporto di tririduzione considereremo, invece, i valori in tabella relativi a 0 + 1 + 2 + 3 errori.
Un esempio in più non farà certo male.
Supponiamo di voler calcolare il rapporto di tririduzione teorico di 5 triple.
Dovremo rifarci al "Triangolo" e selezionare i primi 4 valori incontrati nella riga relativa a cinque varianti.
Poichè il sistema in questione è costituito da varianti triple, occorrerà moltiplicare tali valori per le potenze di 2 in ordine crescente,
vale a dire:

1*2^0 + 5*2^1 + 10*2^2 + 10*2^3 = 131

Il rapporto di tririduzione teorico di 5 triple sarà, pertanto, 131.
Non vorrei aver spaventato qualche lettore a causa di questo metodo di calcolo alquanto macchinoso.
Per rincuorare tutti quanti, perciò, aggiungo che esiste un metodo semplicissimo per calcolare la correzione di errori in un sistema: basta usare un qualsiasi programma sistemistico che disponga di colonne filtro e inserire, oltre al pronostico, una sola colonna filtro, costituita dagli errori (segni X2 per le triple e segni X per le doppie), ponendo come punteggio da verificare il numero di errori voluto.
Nel caso preso ad esempio, a fronte di un pronostico di 4 triple e 4 doppie, la colonna filtro da verificare sarà (X2, X2, X2, X2, X, X, X, X) e il punteggio richiesto 4 (perché vogliamo saper quante colonne con 4 errori sono contenute nel sistema di 4 triple e 4 doppie).
Del resto facciamo la stessa cosa per qualsiasi altro calcolo: infatti ciascuno di noi, pur avendo imparato alle elementari il metodo di calcolo manuale di una radice quadrata, in pratica, ricorre poi ad una semplice calcolatrice tascabile se si trova nella necessità di doverla ottenere materialmente.
Mi scuso di aver tediato i lettori con un argomento prettamente teorico: purtroppo era necessario dare almeno alcuni cenni sul metodo di calcolo degli errori, perché, nella prosecuzione delle nostre divagazioni sistemistiche, frequentemente ci troveremo ancora alle prese con problematiche di questo tipo.

Infatti tale metodologia si rivelerà molto utile, non soltanto nel momento in cui prenderemo in considerazione i sistemi a correzione di errori, ma anche quando ci occuperemo di sistemi incondizionati di grandi dimensioni: questa tecnica ci consentirà di tenere sotto controllo e di gestire anche gli insiemi colonnari più ampi.