APPUNTI DI SISTEMISTICA (decima parte)

ALCUNI SISTEMI TRASCURATI

Ho ritenuto opportuno intitolare in questo modo la dodicesima puntata del nostro ormai abituale incontro, perché vorrei parlarvi, oggi, di alcuni sistemi che nella pratica non sono quasi mai giocati, a causa delle loro ridotte dimensioni che mal si adattano a coprire un pronostico obbligatoriamente articolato su un ben più alto numero di eventi.
Tuttavia questi sistemi, al di là dell'interesse che rivestono per noi da un punto di vista sistemistico, sono anche importanti per un'altra ragione: risultano necessari per la costruzione di sistemi di maggiori dimensioni.
Esaminiamoli dunque insieme, partendo dal più semplice.

1 TRIPLA E 1 DOPPIA colonne 2 (R.R. = 3)

E' possibile scindere lo sviluppo integrale di 1T1D (6 colonne) in tre sistemi ridotti n-1.
Ottenerli è veramente semplice: pertanto lascio al singolo lettore la facoltà di approfondirne la costruzione:
vorrei soltanto porre l'accento su fatto che i primi due ridotti corrispondono, in pratica, a due semi integrali di due doppie.
Per la prima volta abbiamo modo di parlare di un'altra importante caratteristica di tutti i sistemi semi integrali:
essi rappresentano n-1 tutte le colonne che da loro differiscono di un punto, anche se tali colonne contengono segni fuori pronostico.
Nel caso in esame i due semi integrali di 2 doppie riducono n-1 anche le colonne di 1T1D che differiscono di un segno (il segno fuori pronostico per 2 doppie è, ovviamente, il 2 sulla prima variante).
Ecco dunque i tre ridotti di 1T1D:

1	X		1	X		2	2
1	X		X	1		1	X
R1			R2			R3

Per chiarire meglio i concetti sopra espressi faremo ancora un esempio su quest'altra importante caratteristica dei sistemi semi integrali:
il giocatore che decidesse di usare un semi integrale di 7 doppie (64 colonne di tipo 1,X), avrebbe la garanzia della vincita n-1 anche nel caso di un errore nel pronostico (= la sortita di un segno 2 in corrispondenza di una qualunque doppia di tipo 1,X).

2 TRIPLE E 1 DOPPIA colonne 4 (R.R. = 4,5)

E' possibile scindere lo sviluppo integrale di 2T1D (18 colonne) in 4 sistemi ridotti n-1, due di 4 colonne e due di 5 colonne.
E' questo un caso interessante e non infrequente in sistemistica: la possibilità di scindere l'integrale in una serie di riduttori differenziati e senza ripetizioni colonnari, anche se il numero delle colonne dei singoli riduttori non rimane costante.
Questi 4 sistemi derivano dai 4 ridotti perfetti n-1 di 3 doppie, per trasformazione di 2 doppie in 2 triple.
Si abbiano dunque i quattro ridotti di 3 doppie:

1	X		1	X		1	X		1	X
1	X		1	X		X	1		X	1
1	X		X	1		1	X		X	1
R1			R2			R3			XXR4

Trasformando le prime due doppie in due triple otterremo rispettivamente:

1	X	2	X	2		1	X	2	X	2		1	1	X	2		1	1	X	2
1	X	X	2	2		1	X	X	2	2		X	2	1	1		X	2	1	1
1	X	X	X	X		X	1	1	1	1		1	1	X	X		X	X	1	1
R1						R2						R3					XXXXR4

2 TRIPLE E 2 DOPPIE colonne 6 (R.R. = 6)

Questo sistema si ottiene da particolari matrici di una tripla e due doppie, abbinandole al ridotto perfetto di una tripla.
Si abbia dunque lo sviluppo integrale di 1T2D, colonne 12.

1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2
1	1	1	X	X	X	1	1	1	X	X	X
1	1	1	1	1	1	X	X	X	X	X	X

Così come già abbiamo fatto per ottenere alcuni semi integrali di sole doppie raggruppiamo le colonne, avendo cura di separare le colonne contenenti gli errori pari dalle colonne con gli errori dispari.
Otterremo due gruppi distinti di colonne:

1	X	2	X	2	1		X	2	1	1	X	2
1	X	X	1	1	X		1	1	X	1	X	X
1	1	1	X	X	X		1	1	1	X	X	X
Colonne con 0, 2 errori							Colonne con 1, 3 errori

In questo caso non si tratta di semi integrali, perché già abbiamo osservato che non è possibile ottenerne da sistemi misti, in quanto la garanzia delle vincite non rimane costante.
Tuttavia, nel caso del sistema di 1T2D è possibile ricavare da ciascuno dei due gruppi tre matrici di due colonne, precisamente:

1	1		X	2		X	2
1	X		X	1		1	X
1	X		1	X		X	1
M1			M2			M3

Si ottengono dal primo gruppo (0, 2 errori)

1	1		X	2		X	2
X	1		X	1		1	X
1	X		X	1		1	X
M4			M5			M6

Si ottengono dal secondo gruppo (1, 3 errori)

Ciascuna delle prime tre matrici rappresenta n-1 tutte le colonne delle seconde tre matrici e, viceversa,ciascuna delle seconde tre matrici rappresenta n-1 tutte le colonne delle prime tre.
Le colonne scoperte di ciascuna matrice sono indicate in forma schematica nella tavola seguente:

	M1	M2	M3	M4	M5	M6
M1	--	2	2	0	0	0
M2	2	--	0	0	0	0
M3	2	0	--	0	0	0
M4	0	0	0	--	2	2
M5	0	0	0	2	--	0
M6	0	0	0	2	0	--

La tabella va letta come una tavola pitagorica: i valori cercati si trovano all'incrocio delle colonne verticali con le righe orizzontali.
Dall'osservazione del precedente prospetto notiamo inoltre che M2 e M3 si rappresentano a vicenda, così come M5 ed M6: questa ridondanza è dovuta al fatto che, in questo caso, non abbiamo a che fare con un vero e proprio semi integrale, bensì con un sistema misto di triple e doppie.
Tuttavia, dal punto di vista sistemistico, le caratteristiche di M2, M3, M5, M6 non ci interessano più di tanto: la caratteristica importante è, al contrario, la rappresentatività reciproca tra i due gruppi di trematrici.
Infatti possiamo mettere in gioco un gruppo qualsiasi di tre matrici (ad esempio M1, M2, M3), perché ciascuna di esse rappresenta a scarto di un punto le sei colonne delle altre tre matrici (M4, M5, M6).
Per recuperare la rappresentatività reciproca fra le tre matrici M1, M2, M3 sarà sufficiente moltiplicare ciascuna di esse per un ridotto differenziato di una tripla (abbineremo, ad esempio, il segno 1 ad M1, il segno X ad M2 e il segno 2 ad M3), in questo modo:

1T		Riduttori		R 1		R 2		R 3
1T2D		Matrici		M 1		M 2		M 3

La linea di frazione sta a simboleggiare che le colonne della sezione posta a numeratore devono essere moltiplicate per le colonne della sezione posta a denominatore.
Il risultato che otterremo sarà il seguente sistema di 2 triple e 2 doppie di 6 colonne:

1	1	X	X	2	2
1	1	X	2	X	2
1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	X	1
R1

Verifichiamo ora se il sistema ottenuto è effettivamente un riduttore n-1 dell'integrale di 2T2D.

a.     nel caso che la colonna vincente sia contenuta nel ridotto stesso avremo la vincita di prima categoria (probabilità del 16,66%, ovvero 6 colonne su 36).

b.     Se la colonna vincente contenesse, invece, una delle colonne delle tre matrici escluse (M4, M5, M6), troveremmo sicuramente nel nostro ridotto una colonna differente per un solo segno nella sezione delle matrici.

c.      Se la colonna vincente contenesse una delle colonne delle tre matrici utilizzate (M1, M2, M3), troveremmo certamente nel ridotto una colona diversa per un solo segno nella sezione dei ridotti.

Queste verifiche sono di per sé sufficienti per controllare la validità del ridotto n-1 di 2T2D; lascio comunque al lettore il compito di effettuare i controlli pratici: questo esercizio potrà servigli per acquisire maggiore padronanza della materia.
Proseguendo nella nostra trattazione dobbiamo aggiungere che, semplicemente ruotando i riduttori di 1 tripla, si ottengono altri due sistemi ridotti n-1 di 2 triple e due doppie.
La rotazione seguente è a passo uno ed in senso antiorario:

X	X	2	2	1	1
1	1	X	2	X	2
1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	X	1
R2

2	2	1	1	X	X
1	1	X	2	X	2
1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	X	1
R3

Un quarto ridotto di 2T2D si ottiene utilizzando le matrici M4, M5, M6:

1	1	X	X	2	2
1	1	X	2	X	2
X	1	1	X	X	1
1	X	1	X	X	1
R4

Altri due ridotti si ottengono, infine, effettuando sul sistema D le rotazioni dei riduttori:

X	X	2	2	1	1
1	1	X	2	X	2
X	1	1	X	X	1
1	X	1	X	X	1
R5

2	2	1	1	X	X
1	1	X	2	X	2
X	1	1	X	X	1
1	X	1	X	X	1
R6

I sei sistemi ridotti di 2 triple e 2 doppie rappresentano l'esatta scomposizione del corrispondente sistema integrale di 36 colonne, senza ripetizioni.
Ai fini pratici l'uso di uno o dell'altro è perfettamente indifferente, perché i sei ridotti n-1 sono equivalenti.
Importante invece, per la costruzione di ridotti di maggiori dimensioni, l'esatta scomposizione dell'integrale in una serie di riduttori differenziati.
Prima di concludere le nostre riflessioni sul ridotto di 2T2D occorre ancora evidenziare un interessante procedimento sistemistico, che ci sarà utile anche in seguito.
Otterremo ora delle matrici di 2 triple e 1 doppia procedendo… a ritroso, ovvero partendo dai ridotti di 2T2D.
Sarà sufficiente utilizzare i primi tre sistemi (A, B, C).
In ciascuno di essi dovremo separare sulla quarta variante (doppia 1, X) le 3 colonne contraddistinte dal segno 1 e le 3 colonne contraddistinte dal segno X.
Scriveremo quindi soltanto le prime 3 varianti (cioè quelle di 2T1D), evitando di riportare il segno relativo alla quarta variante.
Otterremo 6 matrici di 3 colonne, le quali scompongono esattamente lo sviluppo integrale di 2T1D:

1	X	2		1	X	2		X	2	1
1	X	2		1	2	X		1	X	2
1	X	X		X	1	1		1	X	X
	M1				M2				M3

X	2	1		2	1	X		2	1	X
1	2	X		1	X	2		1	2	X
X	1	1		1	X	X		X	1	1
	M4				M5				M6

Le colonne scoperte di ciascuna matrice sono indicate in forma schematica nella tavola seguente:

	M1	M2	M3	M4	M5	M6
M1	--	2	0	0	0	0
M2	2	--	0	0	0	0
M3	0	0	--	2	0	0
M4	0	0	2	--	0	0
M5	0	0	0	0	--	2
M6	0	0	0	0	2	--

Notiamo quindi che:

a.     le prima coppia di matrici (M1, M2) rappresenta n-1 ciascuna delle colonne delle altre 4 matrici, ma esse non si rappresentano completamente tra loro.

b.     le seconda coppia di matrici (M3, M4) rappresentano n-1 ciascuna delle colonne delle altre 4 matrici, ma esse non si rappresentano completamente tra loro.

c.      la terza coppia di matrici (M5, M6) rappresentano n-1 ciascuna delle colonne delle altre 4 matrici, ma esse non si rappresentano completamente tra loro.

Queste matrici ci saranno utili in seguito per costruire altri sistemi.
Per il momento si ricorda soltanto che, abbinando a ciascuna coppia di matrici un diverso riduttore di una doppia si ottengono i primi tre sistemi ridotti n-1 di 2T2D.
Gli altri tre sistemi si ottengono invertendo tra loro i riduttori d'aggancio.

Altri piccoli sistemi

Questa volta studieremo altri piccoli sistemi, tutti ottenibili con tecniche che già conosciamo.

1 TRIPLA E 4 DOPPIE colonne 8 (R.R. = 6)

Anche questo sistema si ottiene abbinando una serie di riduttori differenziati (= contenenti, complessivamente, tutte le colonne del corrispondente sviluppo integrale) con un gruppo di matrici (= non contengono tutte le colonne del corrispondente sistema integrale, ma che rappresentano n-1 tutte le colonne escluse).

Lo schema per ottenere il sistema di 1 tripla e 4 doppie è il seguente:

1T		Riduttori		R 1		R 2		R 3		R 4
4D		Matrici		M 1		M 2		M 3		M 4

Si abbiano le 4 matrici pari di 4 doppie:

1	X		X	1		X	1		X	1
1	X		X	1		1	X		1	X
1	X		1	X		X	1		1	X
1	X		1	X		1	X		X	1
M1			M2			M3			XXM4

A ciascuna matrice dovremo abbinare un ridotto n-1 di 1 tripla, ma, poiché le matrici sono 4 e i riduttori di una tripla soltanto tre, un riduttore andrà ripetuto.

Otterremo quindi un primo sistema ridotto n-1 di 8 colonne:

1	1	1	1	X	X	2	2
1	X	X	1	X	1	X	1
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R1

Altri due sistemi si ottengono ruotando i riduttori:

X	X	X	X	2	2	1	1
1	X	X	1	X	1	X	1
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R2

2	2	2	2	1	1	X	X
1	X	X	1	X	1	X	1
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R3

Dalle quattro matrici dispari di 4 doppie otterremo, con procedimento analogo, altri tre riduttori:

1	1	1	1	X	X	2	2
X	1	1	X	1	X	1	X
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R4

X	X	X	X	2	2	1	1
X	1	1	X	1	X	1	X
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R5

2	2	2	2	1	1	X	X
X	1	1	X	1	X	1	X
1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1
R6

Pertanto notiamo che anche per il sistema di 1 tripla e 4 doppie è possibile ottenere una serie di 6 sistemi ridotti n-1, che, complessivamente, contengono tutte le colonne del corrispondente sistema integrale (48 colonne).

Per la verifica della validità di questi riduttori il procedimento da adottare è analogo a quello indicato a proposito del sistema di 2T2D.

1 TRIPLA E 5 DOPPIE colonne 16 (R.R. = 6)

Questo sistema non si può ottenere in maniera autonoma, ma deriva dal ridotto di 1T4D con l'aggiunta di una doppia integrale.

In particolare la versione presentata di seguito si ottiene dai sistemi R1 ed R4 di 1T4D, abbinandovi, rispettivamente, il segno 1 ed il segno X come sesta variante:

1	1	1	1	X	X	2	2	1	1	1	1	X	X	2	2
1	X	X	1	X	1	X	1	X	1	1	X	1	X	1	X
1	X	X	1	1	X	1	X	1	X	X	1	1	X	1	X
1	X	1	X	X	1	1	X	1	X	1	X	X	1	1	X
1	X	1	X	1	X	X	1	1	X	1	X	1	X	X	1
1	1	1	1	1	1	1	1	X	X	X	X	X	X	X	X

In questo caso la soluzione proposta è perfettamente equivalente al sistema che otterremmo per semplice aggiunta di una doppia integrale a 1T4D colonne 8.

La differenza sta semplicemente nel fatto che, rinunciando alle possibilità di accorpamento di questo sistema (16 colonne singole contro 8 accorpate), si ottiene una maggiore propensione del sistema stesso alle vincite plurime di seconda categoria.

E' questo il motivo per cui io personalmente preferisco la versione proposta sopra.

2 TRIPLE E 3 DOPPIE colonne 12 (R.R. = 6)

Questo sistema si può ottenere sia trasformando una doppia in tripla nel sistema di 1T4D, sia aggiungendo una doppia integrale al sistema di 2T2D presentato la volta scorsa.

La particolare versione proposta di seguito, a parità di colonne, è invece costruita per garantire maggiori possibilità di vincite plurime di seconda categoria, rinunciando all'accorpamento colonnare.

1	1	X	X	2	2	1	1	X	X	2	2
1	1	X	2	X	2	1	1	X	2	X	2
1	X	X	1	1	X	X	1	1	X	X	1
1	X	1	X	X	1	1	X	1	X	X	1
1	1	1	1	1	1	X	X	X	X	X	X

3 TRIPLE E 1 DOPPIA colonne 9 (R.R. = 6)

Anche questo sistema deriva dal 2T2D, per trasformazione di una doppia in tripla.

1	1	1	X	X	X	2	2	2
1	1	1	X	X	2	X	2	2
1	X	2	X	2	1	1	X	2
1	X	X	1	1	X	X	1	1

E' tuttavia possibile ottenere una versione del medesimo sistema, sempre di 9 colonne, ricorrendo ai sistemi semi integrali di tre triple: ne riparleremo non appena tratteremo tale argomento.

3 TRIPLE colonne 5 (R.R. = 5,4)

Questo sistema deriva dal ridotto di 3 doppie, 2 colonne.

Si abbia lo sviluppo integrale di 3 triple (27 colonne):

1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2	1	X	2
1	1	1	X	X	X	2	2	2	1	1	1	X	X	X	2	2	2	1	1	1	X	X	X	2	2	2
1	1	1	1	1	1	1	1	1	X	X	X	X	X	X	X	X	X	2	2	2	2	2	2	2	2	2

Si noti che le due colonne di colore rosso corrispondono al noto ridotto n-1 di 3 doppie (doppie di tipo 1, 2).

Le colonne in verde sono quelle rappresentate n-1 dalla monotermine di 3 segni 1, mentre quelle in blu sono le colonne ridotte n-1 dalla monotermine di 3 segni 2.

Pertanto, utilizzando un sistema ridotto n-1 di 3 doppie si rappresentano 14 su 27 colonne di 3 triple.

Già abbiamo accennato al fatto che ogni semi integrale presenta la caratteristica di ridurre n-1 quelle colonne che da esso differiscono per un segno, anche se si tratta di un segno fuori pronostico.

Per completare il sistema di 3 triple sarà perciò sufficiente utilizzare, al posto della monotermine 2, un semi integrale di 3 doppie di tipo X, 2 (4 colonne).

Ecco dunque il primo ridotto di 3 triple ottenuto:

1	2	2	X	X
1	2	X	2	X
1	2	X	X	2
R1

Le colonne in rosso corrispondono ad un semi integrale di 3 doppie di tipo X, 2, come dicevamo sopra.

Lascio al lettore la verifica diretta della copertura, da parte del semi integrale, delle 13 colonne che Non risultavano ancora coperte.

Dopo aver ottenuto un primo ridotto n-1 di 3 triple, diventa praticamente automatica la costruzione di altri 2 ridotti di 5 colonne (le colonne in rosso corrispondono a un sistema semi integrale di 3 doppie):

1	X	X	2	2
1	2	X	2	X
X	2	1	1	2
R2

In R2 le tre doppie di partenza sono, nell'ordine: 1 X, 1 2, X 2.

1	X	X	2	2
1	X	2	X	2
2	X	1	1	X
R3

In R3 le tre doppie di partenza sono, nell'ordine: 1 X, 1 X, 2 X.

A questo punto dalle 12 colonne non ancora utilizzate si ottengono altri due ridotti di 3 triple, ciascuno di sei colonne.

Essi, in pratica, corrispondono alla diretta trasformazione di un ridotto di tre doppie in tre triple.

In rosso sono evidenziati i riduttori di 3 doppie di partenza:

1	X	1	2	X	2		X	1	2	1	1	1
X	1	2	1	1	1		1	X	1	2	X	2
1	X	1	X	2	2		1	X	1	X	2	2

R4

R5

I cinque riduttori ottenuti rappresentano l'esatta scomposizione dell'integrale di 3 triple (27 colonne), senza nessuna ripetizione colonnare.

La versione proposta presenta 5 ridotti n-1 rispettivamente di 5, 5, 5, 6, 6 colonne, ma è possibile ottenere anche una diversa disposizione, selezionando 5 ridotti di 5, 5, 5, 5, 7 colonne.

Fatta eccezione per il sistema di 3T1D, noto sin dal 1946 nella versione derivata dal semi integrale di 3 triple, tutti gli altri sistemi presentati nelle ultime due puntate sono attribuiti dall'A.O.S.I. a R. Di Nasso e risalgono al 1950.