Le Statistiche del Lotto

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.4- Le statistiche markoviane di "presenza" HT e VT

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Supponiamo di applicare ad un ritardo scelto a piacere, ad. es. R=10, la statistica generale di "presenza" introdotta nella precedente nota 2 per la colonna dell’ultimo ritardo: LT = 5.q(R-1) dove q=17/18. Il calcolo è molto semplice e dà LT(10) = 2,99. Ciò significa che ci dobbiamo attendere che siano ancora rimasti in piedi 3 dei 5 lottroni iniziali (col termine lottrone si intende indicare uno dei 90 numeri di una ruota). Chiaramente tale dato teorico va inteso come dato statistico medio: in realtà se noi andiamo a esaminare molte colonne dei ritardi, in pratica al ritardo 10 troviamo di tutto un po’. Più esattamente troveremo uno (ma uno solo) dei seguenti casi : ancora tutti i 5 lottroni iniziali; l’insieme di tali lottroni è detto convenzionalmente quintupla ed è indicato con QN; 4 dei 5 lottroni iniziali ovvero una quadrupla(QD); 3 dei 5 lottroni iniziali ovvero una tripla (TP); 2 dei 5 lottroni iniziali ovvero una doppia (DP); uno solo dei 5 lottroni iniziali ovvero un singolo ritardatario (SR); nessuno dei 5 lottroni iniziali ovvero uno zero(ZR). Tuttavia, se si avrà la pazienza di effettuare la media su molti casi concreti ci si avvicinerà sensibilmente al dato teorico. A questo punto la domanda che sorge spontanea è la seguente: è possibile calcolare la probabilità che al ritardoR=10 si osservi una qualsiasi delle sei possibilità ? ovvero, in altre parole, è possibile calcolare per i sei casi possibili le rispettive probabilità, tali che la loro somma faccia l’unità: 2) P5 + P4 +P3 + P2 +P1+P0= 1 (dove ovviamente PL, con L=0;1;…6, indica la probabilità di trovare al ritardo considerato L lottroni dei 5 iniziali)? La risposta è positiva e la soluzione viene fornita dalla teoria delle catene di Markov (dove la parola catena va intesa come passaggio da un anello di una catena all’anello successivo e non come.. incatenamento). La metodologia di Markov è troppo complessa per essere descritta qui in dettaglio. Comunque noi avemmo già occasione di presentarla alcuni anni or sono (cfr. "I segreti del tabellone centrale " in Lotto Gazzetta Mese - Ottobre ‘94-) e qui ci limitiamo a ricordarne le caratteristiche essenziali. Di fatto questa metodologia è applicabile ogni qual volta un "sistema" che si evolve in modo discontinuo, sia descrivibile da un numero ben definito di stati e il passaggio fra uno stato e il successivo sia guidato esclusivamente da leggi probabilistiche, senza che via sia alcuna memoria delle situazioni precedenti escluso l’ultima. In effetti questa è proprio la situazione del sistema "sincronone" costituito dai 5 Lottroni iniziali e successivamente dagli L lottroni residui (per cui L è il livello istantaneo del sincronone); dopo ogni estrazione il sistema si trova in una delle 6 posizioni possibili e ciò che può accadere alla (R+1)-esima estrazione dipende solo dallo stato del sistema dopo la R-esima estrazione. Sul piano matematico l’insieme delle probabilità PL è dettovettore di probabilità e il segreto della metodologia di Markov consiste nella conoscenza della matrice di transizione (che noi abbiamo calcolato). Questa matrice, applicata secondo le regole della matematica, al vettore di probabilità che descrive il sistema al ritardo R consente di calcolare il vettore di probabilità (cioè la distribuzione delle probabilità del sistema) dopo l’estrazione (o ritardo) R+1. In altre parole la metodologia di Markov agisce per passi successivi. Poiché noi conosciamo già lo stato iniziale (perR=1) del sistema (si tratta di una QN, che si rappresenta con P5=1 e P0=P1=P2=P3=P4=0), applicando la procedura suddetta è possibile calcolare tutte le probabilitàPL in funzione di ogni R successivo. Per comodità del lettore nella tabella sottostante sono riportati gli andamenti delle PL in funzione del ritardo fino aR=70. Si noti che si sommano le varie PL per R costante si ottiene sempre l’unità (perché uno dei 6 casi deve sempre avverarsi). E’ interessante per il lettore vedere gli andamenti in funzione di R. Prendiamo ad es. il caso di una DP: la probabilità parte da zero, cresce lentamente raggiunge un massimo per R= 17 e poi decresce; tale andamento è valido per tutti gli altri casi (anche se la posizione dei massimi cambia) con due eccezioni. La prima si ha per le QN la cui probabilità non può che diminuire e l’altra è per gli ZR la cui probabilità non può che aumentare. Il lettore non esperto di cose matematiche può sorprendersi dell’esistenza di massimi per le QD, le TP, le DP e gli SR: in realtà basta riflettere che all’inizio non si hanno, ad esempioDP; ma queste dapprima dovranno crescere per la dissoluzione delle TP (e anche di QD e di QN); contemporaneamente tuttavia comincerà anche la dissoluzione delle DP e la probabilità di osservarle andrà poi progressivamente a zero. Dai dati ottenuti con la metodologia di Markov è possibile dedurre due interessanti statistiche di presenza, facilmente confrontabili con i dati reali. La prima di esse è HT che, prefissato il valore di L, si ottiene sommando su tutti gli R i valori delle probabilità riportati nella rispettiva colonna: ciò che si ottiene è il numero dei sincrononi di livello L presenti nella colonna dei ritardi. Più in particolare si ottiene: Quintuple QN L=5 3,94 Quadruple QD L=4 4,38 Triple TP L=3 5,87 Doppie DP L=2 8,80 Singoli SR L=1 17,60 per un totale di 40,59 sincrononi (ci dobbiamo cioè attendere che nella colonna dei ritardi siano presenti in media 3,94 QN; 4,38 QD ecc.). La corrispondente statistica reale HR si ottiene semplicemente contando quanti sincrononi di livello Lsono presenti nella colonna dei ritardi. Così se in un colonna sono presenti 13 DP si ha HR=13 e applicando la formula, ormai ben nota delle aspettabilità (vedere gli articoli precedenti) si ottiene: 3) AH = HR/(HR+HT) = 13/(13+8,8) = 0,60 che rappresenta il valore dell’Apz ( aspettabilità parziale) AHda attribuire a tutti i lottroni che formano le doppie. L’altra statistica VT si ottiene confrontando fra loro le colonne delle 10 ruote per R costante. In effetti, prefissato il valore di R, i corrispondenti valori dellePL moltiplicati per 10 ci dicono quanti lottroni di livello Ldebbono essere presenti. Ad es. fissando R=5 si ottiene:VT= 3,10 per le QP; VT= 4,20 per le QD; VT= 2,13 per leTP ecc. La corrispondente statistica reale VR si ottiene semplicemente contando per quel valore di R quanti sincrononi di livello L sono presenti sulle 10 ruote. La formula per l’aspettabilità AV è simile alla precedente e i valori vanno attribuiti a tutti i lottroni dei sincrononi di livello L presenti al ritardo R. Anche queste 2 Apz sono tra quelle più semplici utilizzate nel calcolo delle previsioni fatte col metodo GDS33 che appare su questo sito. Il fisico TABELLA: Andamento dei valori delle probabilità PL per ciascuno dei sei valori di L in funzione del ritardo R (L=5 corrisponde alle QN; L=5 alle QD; L=3 alle TP; L=2 alle DP;L=1 agli SR e L=0 agli zeri). R L=6     L=4     L=3     L=2     L=1     L=0----------------------------------------------------- 1 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 2 0.74635 0.23035 0.02247 0.00081 0.00001 0.00000 3 0.55704 0.35446 0.08019 0.00796 0.00034 0.00000 4 0.41574 0.40920 0.14844 0.02469 0.00187 0.00005 5 0.31029 0.42003 0.21323 0.05062 0.00560 0.00023 6 0.23159 0.40432 0.26743 0.08364 0.01235 0.00068 7 0.17284 0.37373 0.30818 0.12102 0.02261 0.00160 8 0.12900 0.33597 0.33522 0.16007 0.03655 0.00319 9 0.09628 0.29595 0.34967 0.19841 0.05404 0.00565 10 0.07186 0.25669 0.35334 0.23420 0.07473 0.00917 11 0.05363 0.21996 0.34829 0.26610 0.09807 0.01394 12 0.04003 0.18666 0.33654 0.29323 0.12345 0.02008 13 0.02987 0.15713 0.31992 0.31516 0.15021 0.02770 14 0.02230 0.13140 0.30001 0.33176 0.17768 0.03686 15 0.01664 0.10926 0.27813 0.34316 0.20522 0.04759 16 0.01242 0.09041 0.25532 0.34969 0.23229 0.05987 17 0.00927 0.07450 0.23241 0.35177 0.25837 0.07367 18 0.00692 0.06117 0.21001 0.34993 0.28305 0.08892 19 0.00516 0.05007 0.18854 0.34469 0.30600 0.10554 20 0.00385 0.04087 0.16830 0.33660 0.32696 0.12341 21 0.00288 0.03327 0.14949 0.32619 0.34574 0.14243 22 0.00215 0.02703 0.13217 0.31394 0.36224 0.16247 23 0.00160 0.02191 0.11639 0.30030 0.37640 0.18339 24 0.00120 0.01773 0.10213 0.28568 0.38820 0.20506 25 0.00089 0.01433 0.08932 0.27042 0.39770 0.22735 26 0.00067 0.01156 0.07788 0.25482 0.40495 0.25012 27 0.00050 0.00931 0.06773 0.23913 0.41006 0.27326 28 0.00037 0.00749 0.05875 0.22358 0.41315 0.29665 29 0.00028 0.00602 0.05085 0.20833 0.41435 0.32016 30 0.00021 0.00484 0.04392 0.19351 0.41381 0.34371 31 0.00015 0.00388 0.03787 0.17924 0.41167 0.36718 32 0.00012 0.00311 0.03259 0.16558 0.40810 0.39050 33 0.00009 0.00249 0.02800 0.15259 0.40323 0.41359 34 0.00006 0.00199 0.02403 0.14030 0.39723 0.43638 35 0.00005 0.00159 0.02059 0.12874 0.39022 0.45880 36 0.00004 0.00127 0.01762 0.11791 0.38235 0.48080 37 0.00003 0.00102 0.01506 0.10780 0.37375 0.50234 38 0.00002 0.00081 0.01286 0.09839 0.36454 0.52337 39 0.00001 0.00065 0.01097 0.08967 0.35482 0.54387 40 0.00001 0.00052 0.00935 0.08161 0.34470 0.56381 41 0.00001 0.00041 0.00796 0.07417 0.33428 0.58316 42 0.00001 0.00033 0.00677 0.06733 0.32364 0.60192 43 0.00000 0.00026 0.00576 0.06105 0.31285 0.62007 44 0.00000 0.00021 0.00489 0.05530 0.30199 0.63760 45 0.00000 0.00017 0.00415 0.05004 0.29112 0.65452 46 0.00000 0.00013 0.00352 0.04524 0.28028 0.67081 47 0.00000 0.00011 0.00299 0.04086 0.26954 0.68650 48 0.00000 0.00008 0.00253 0.03688 0.25892 0.70158 49 0.00000 0.00007 0.00215 0.03326 0.24847 0.71605 50 0.00000 0.00005 0.00182 0.02997 0.23821 0.72994 51 0.00000 0.00004 0.00154 0.02699 0.22817 0.74325 52 0.00000 0.00003 0.00130 0.02430 0.21837 0.75599 53 0.00000 0.00003 0.00110 0.02186 0.20883 0.76818 54 0.00000 0.00002 0.00093 0.01965 0.19955 0.77984 55 0.00000 0.00002 0.00079 0.01766 0.19056 0.79098 56 0.00000 0.00001 0.00066 0.01586 0.18185 0.80161 57 0.00000 0.00001 0.00056 0.01424 0.17343 0.81175 58 0.00000 0.00001 0.00047 0.01278 0.16531 0.82142 59 0.00000 0.00001 0.00040 0.01146 0.15749 0.83064 60 0.00000 0.00001 0.00034 0.01028 0.14996 0.83941 61 0.00000 0.00000 0.00028 0.00921 0.14272 0.84777 62 0.00000 0.00000 0.00024 0.00825 0.13577 0.85572 63 0.00000 0.00000 0.00020 0.00739 0.12911 0.86329 64 0.00000 0.00000 0.00017 0.00662 0.12272 0.87048 65 0.00000 0.00000 0.00014 0.00593 0.11661 0.87731 66 0.00000 0.00000 0.00012 0.00531 0.11076 0.88380 67 0.00000 0.00000 0.00010 0.00475 0.10517 0.88997 68 0.00000 0.00000 0.00009 0.00425 0.09983 0.89583 69 0.00000 0.00000 0.00007 0.00380 0.09474 0.9013870 0.00000 0.00000 0.00006 0.00340 0.08988 0.90665