Nella nota precedente è stata esaminata la statistica di presenza
| 1) XT = N.q(R-1) R=1 ; 2 ; 3... |
con q=17/18 (si ricordi q=1-p essendo p= 1/18 la probabilità di estrazione di un numero). Di fatto essa ci dice quanti di N numeri iniziali sono ancora in piedi (non sono cioè ancora stati estratti) dopo R-1 estrazioni per cui sono ancora presenti al ritardo R (dove possono cadere).
E’ stato altresì visto come la 1) può dare immediatamente luogo a tre statistiche teoriche di presenza LT, NT e PTdove N è rispettivamente 5; 50 e 10. Queste statistiche si sono rivelate utili per calcolare alcune aspettabilità parziali (AL, AN e AP che sono tra le più semplici fra quelle impiegate nel programma GDS33, su questo sito).
In questa nota estendiamo le applicazioni della 1) supponendo di essere al ritardo R e di sommare tutti i termini dall’ R-esimo termine (compreso) in poi. Il valore risultante SXT ci dirà quanti numeri saranno presenti dal ritardo R (compreso) fino all’infinito. Facendo uso della proprietà della serie geometrica (vedere Appendice nella prima nota di questa serie) si dimostra facilmente che è:
| 2) SXT = N.q(R-1)/p ( da R a infinito) |
Come si vede la 2) è identica alla 1) salvo per il fattore 1/p.Anche la 2) dà origine a varie statistiche, che per la loro origine possono essere dette integrali. La prima si ottiene applicando la 2) alla descrizione della colonna dei ritardi (cfr. il primo articolo), ponendo N=5 e p=1/18. Indicando tale statistica con DT si ha:
| 3) DT = 90. q(R-1) (da R=1 ; 2 ; 3.. a infinito) |
Come si vede per R=1 si ottiene 90 : il totale dei 90 numeri. Se poniamo DT=1 e invertiamo la formula si ottiene facilmente R=1+ log(90)/log(1/q)= 79,72 =80 che è definito ritardo normale del singolo numero (ciò perché aR=80 ci aspettiamo di trovare l’ultimo dei 90 numeri); analogamente se ripetessimo i calcoli per DT=2; DT=3 ecc. troveremmo la sequenza ideale di presenza.
La seconda statistica, indicata con WT, si ottiene prendendo in considerazione non l’intera colonna dei ritardi ma solo una delle 5 sotto-colonne che la costituiscono. In tal caso è evidentemente N=1 mentre p rimane inalterato. Pertanto si ha:
| 4) WT = 18. q(R-1) (da R=1 ; 2 ; 3... a infinito) |
che per R=1 dà WT=18=90/5. In effetti ci attendiamo che i 90 numeri si ripartiscano in modo uguale fra le 5 posizioni (sottocolonne).
La terza statistica, denominata BT, ha un’origine alquanto diversa. Prefissiamo uno qualsiasi dei 90 numeri, che d’ora per maggiore chiarezza, denomineremo "lottroni" (dal momento che la parola numero ha un significato più generale). Scegliamo ad esempio il lottrone 7 e andiamo a vedere quali ritardi esso ha sulle 10 ruote. Per avere la statistica teorica si deve dividere la 3) per 90: tanti essendo i lottroni di una ruota, e quindi moltiplicare per 10, tante essendo le ruote diverse:
| 5) BT = 10. q(R-1) (da R=1 ; 2 ; 3... a infinito) |
In altre parole questa statistica ci dice su quante ruote il lottrone prefissato è presente dal ritardo R compreso in poi. Ovviamente si hanno 90 statistiche BT diverse.
Come già rilevato per i casi presentati nella nota precedente, anche le statistiche reali presentate in questa nota, e denominate rispettivamente DR, WR e BR, sono immediatamente deducibili dalle colonne dei ritardi. Per DRbasta contare quanti lottroni sono ancora presenti in una colonna dei ritardi da R compreso in poi. Per WR si deve prima prefissare la posizione (o sottocolonna) di una ruota e contare come sopra. Ovviamente si hanno 5 possibilità diverse per ciascuna ruota. Per BR si deve selezionare prima uno dei 90 lottroni e quindi, fissato R, contare in quante ruote il ritardo del lottrone è superiore o uguale a R. Ovviamente si hanno 90 statistiche diverse, una per ogni lottrone.
Anche per queste statistiche si possono ottenere le corrispondenti aspettabilità parziali (Apz) AD, AW e AB con la nota formula:
dove X sta per D, W e B; il valore ottenuto dell’aspettabilità parziale va attribuito solo ai lottroni al ritardo R (perché come sono distribuiti i lottroni con ritardo superiore non ha alcuna importanza: conta solo il loro numero).
Anche queste 3 Apz sono tra quelle più semplici utilizzate nel calcolo delle previsioni fatte col metodo GDS33 che appare dopo ogni estrazione su questo sito.
Chiudiamo con una curiosità relativa alle Apz derivate da queste statistiche integrali. Limitandoci a fissare l’attenzione su AD, supponiamo che una ruota abbia per gli ultimi quattro ritardatari i ritardi 74; 91 ; 93 e 100 (chiaramente vi è un addensamento in coda). Allora DRassume i valori 4; 3; 2 e 1 rispettivamente per R=74; 91; 93 e 100. Si ottiene allora facilmente la seguente tabella utilizzando la 3) per calcolare DT e la 6) per calcolare AD:
| R | DR | DT | AD |
| 100 | 1 | 0,314 | 0,761 |
| 93 | 2 | 0,468 | 0,810 |
| 91 | 3 | 0,525 | 0,851 |
| 74 | 4 | 1,387 | 0,743 |
Come si vede il valore massimo dell’Apz non si osserva per il massimo lottrone ritardatario ma per uno dei successivi: poiché vi è un accumulo di lottroni ai grandi ritardi, è come se quelli che sono in coda in modo troppo ravvicinato, avessero difficoltà a procedere perché le posizioni successive sono occupate da altri lottroni ritardatari.
Il fisico
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