E' il turno di Guido Manfredonia
*DAI DADI AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’*
-1^ parte-
Nel 1654 un celebre giocatore, il cavaliere de Merè, proponeva a Pascal due questioni relative al gioco, la prima era: in quanti colpi si può sperare di ottenere "doppio sei" gettando due dadi?
La risoluzione di questo ed altri problemi sui giochi con dadi e carte servirono a Galileo Galilei, Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Pierre Simon Laplace, Cristian Huygens ed altri (senza trascurare Gerolamo Cardano), a formulare i primi studi, gettandone le basi, del calcolo delle probabilità.
Eccovi la definizione di quella che si chiama "probabilità matematica":
il rapporto che si forma dividendo il numero dei casi favorevoli ad un evento
per il numero totale dei casi possibili
Il gioco dei dadi ci dà il mezzo per mettere in evidenza la necessità di questa restrizione: gli eventi devono essere tutti ugualmente possibili.
La precedente rigorosa definizione è dovuta al Laplace.
Prendiamo due dadi, ogni dado ha sei facce marcate da 1 a 6 e sono talmente perfetti che nessuna faccia dell’uno o dell’altro può essere "favorita".
Se tiriamo contemporaneamente i due dadi, è facile riconoscere che ciascuna faccia del primo può associarsi ad una qualsiasi delle sei facce del secondo dado, in modo che se indichiamo con A il primo dado e con B il secondo, si avranno i 36 casi possibili come indicati qui di seguito:
A B A B
1 1 4 1
1 2 4 2
1 3 4 3
1 4 4 4
1 5 4 5
1 6 4 6
2 1 5 1
2 2 5 2
2 3 5 3
2 4 5 4
2 5 5 5
2 6 5 6
3 1 6 1
3 2 6 2
3 3 6 3
3 4 6 4
3 5 6 5
3 6 6 6
Tutte le combinazioni indicate nella tabella sono i 36 casi ugualmente possibili: basta saper fare l’enumerazione dei casi. Nulla è più semplice come principio, ma praticamente tale operazione è spesso assai complicata, essendo le enumerazioni talora semplicissime, tal altra abbastanza complesse.
Nel tiro coi due dadi, ottenere 5 con il dado A e 2 con quello B è un evento possibile pari a quello di ottenere 6 con l’uno e l’altro dei dadi in uno stesso tempo; ma se si aspetta l’arrivo dei punti 2 e 5 senza ordine prestabilito, la probabilità di ottenerli è differente da quella di fare 6 e 6.
Per il primo caso si hanno due eventi possibili; 1) 2 e 5; 2) 5 e 2; mentre è possibile un solo caso per il doppio 6.
Dunque i casi possibili sono 36, e secondo la nota definizione, la probabilità di ottenere i punti 5 e 2 senza distinzione d’ordine è 2/36 = 1/18, mentre quella di fare doppio 6 è solamente 1/36.
Se invece di considerare separatamente i punti presentati dalle due facce, facciamo la somma di essi, troveremo delle probabilità diverse. Per esempio, il numero 2 lo si può ottenere in una sola maniera: con l’evento 1,1; il numero 7, al contrario, ci è dato da sei eventi differenti, cioè: 1,6 – 6,1 – 2,5 – 5,2 – 3,4 – 4,3. Così la probabilità di ottenere il "punto somma" 2 sarà solamente di 1/36, mentre quella di ottenere il punto 7 sarà 6/36 = 1/6.
Invece di usare due dadi se ne possono usare N (sempre di quelli ordinari, a sei facce) ed in tal caso il punto più probabile è 7N/2 se N è dispari.
Anche per il gioco del Lotto, quando si calcolano le probabilità matematiche si devono assolutamente enumerare i casi possibili e quelli favorevoli, tenendo d’occhio sempre la equipossibilità.
Una domanda semplice alla quale corrisponde una risposta logica: in ogni caso le probabilità si calcolano come per il gioco dei dadi? Poiché non tutti i giochi si possono ridurre allo schema piuttosto semplice del gioco dei dai è evidente che il calcolo delle relative probabilità và fatto con metodi diversi. Più che metodi, però, si tratta di formule che derivano proprio dal tipo di gioco od esperimento che si esegue.
Nel gioco del Lotto si adopera un’urna, novanta bussolotti nei quali sono distintamente racchiusi i numeri dall’uno al novanta, si mescola il tutto e poi si procede all’estrazione di cinque bussolotti, uno alla volta, senza rimettere nell’urna i bussolotti man mano estratti. Onde evitare una influenza sulla scelta di quel bussolotto o di quell’altro, si affida l’estrazione ad un bambino che viene bendato!
L’aver fissato, diciamo le regole, resta fissato il tipo di esperimento da eseguire sempre, ogni volta che lo si vuol ripetere e tutto ciò non è altro che l’aver fissato ciascun caso. Per il calcolo delle probabilità, dunque, occorre saper far ricorso ai vari "schemi probabilistici".
