LA LEGGE DEL TERZO

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 1^ parte

Al di là di ciò che si sente dire e che si è abituati a leggere, gli eventi casuali si evolvono rispettando poche ma fondamentali leggi. Una di queste è la cosiddetta "legge del terzo", che ricorre spessissimo negli scritti dei vari studiosi. Ma cos’è la legge del terzo e cosa stabilisce? In breve, essa stabilisce che in un ciclo teorico relativo alla combinazione cui si fa riferimento, l’intera rosa degli eventi si distribuisce in ragione di 2/3 "si" ed 1/3 "no". Nel secondo ciclo, l’insieme delle combinazioni facenti parte del gruppo di quelle assenti nel primo ciclo, rispetta anch’esso la legge del terzo, vale a dire che i 2/3 usciranno ed 1/3 no, e così via per i cicli successivi. Ciò avviene ineluttabilmente, fatte salve piccole fluttuazioni insignificanti ai fini globali. L’enunciazione della legge è estremamente semplice come abbiamo visto, eppure si tratta di un principio alla cui base c’è l’essenza del calcolo delle probabilità, materia abbastanza ostica e per certi versi non facile da comprendere appieno. Vediamo perché la legge cui abbiamo accennato ha "bisogno" del calcolo delle probabilità. Innanzitutto bisogna conoscere esattamente i valori di probabilità semplice, favorevole e contraria, dell’evento in esame. Conosciuti questi (in particolare quelli di probabilità contraria), bisogna poi conoscere il modo per calcolare la probabilità composta, cosa determinante ai fini della spiegazione matematica della legge del terzo. Rimandando magari ad una prossima serie di puntate dedicate espressamente alla matematica dell’"incertezza" i fondamentali del calcolo delle probabilità e del calcolo combinatorio, riferiamoci a cose scontate, che sono bagaglio culturale di tutti gli appassionati del gioco del Lotto. Le cose che seguono sono pertanto delle nozioni che non staremo a spiegare nel dettaglio. Prenderemo in esame la sorte dell’estratto semplice e dell’ambo secco, le combinazioni più care ai giocatori. Tutti sappiamo che il regolamento del gioco del Lotto prevede l’estrazione di 5 numeri senza reimbussolamento da una massa di 90. L’evento più semplice è quindi l’estratto, cioè azzeccare uno dei 5 numeri tirati fuori dall’urna. La probabilità favorevole di un evento si calcola tenendo conto di una frazione al cui numeratore si pongono i casi favorevoli ed al denominatore quelli possibili. Nel caso dell’estratto semplice sappiamo che i casi favorevoli sono 5 e quelli possibili 90. La probabilità semplice è quindi pari a 5/90, frazione che semplificata diventa 1/18. Se si gioca un numero per estratto su una ruota si ha una probabilità favorevole e 17 contrarie. La probabilità contraria è infatti pari a 17/18 (ovvero 85/90), dal momento che la somma delle due probabilità, favorevole e contraria, deve essere 1. Infatti:

Saliamo di livello e passiamo alla sorte dell’ambo secco. Innanzitutto dobbiamo conoscere il valore da inserire al denominatore della frazione che definisce la probabilità. Esso è pari a 4005, perché tante sono le combinazioni binarie che si formano con i 90 numeri singoli. Ora quanti ambi si formano con i 5 estratti di una qualsiasi estrazione? Tutti sappiamo che sono 10, quindi le frazioni che definiscono i valori di probabilità favorevole e contraria dell’ambo secco sono:

è prob. Favorevole

è prob. Contraria

Questi valori, sia quelli dell’estratto che quelli dell’ambo, si riferiscono alla probabilità che giocando un solo numero o un solo ambo lo si vinca nell’estrazione in cui lo si gioca. Poniamoci ora la seguente domanda: se scelgo un numero e lo gioco per 18 estrazioni consecutive che probabilità ho che questo numero esca in una qualsiasi di queste 18 estrazioni? Qui si passa dal concetto di probabilità semplice a quello di probabilità composta. Questa si calcola moltiplicando tra loro le varie probabilità semplici. Nel caso quindi dobbiamo calcolare che probabilità di verificarsi ha l’evento della NON estrazione dell’estratto nell’ambito di 18 estrazioni consecutive. In pratica bisogna moltiplicare per se stessa 18 volte la frazione 17/18; equivale a dire elevarla alla 18^ potenza:

E’ ovvio che la probabilità cercata sta nel complemento all’unità del valore appena trovato:

1 - 0,357417 = 0,642583

Scegliendo un numero qualsiasi e giocandolo 18 volte consecutive abbiamo circa 64 probabilità su 100 di vederlo sortire in una qualsiasi delle 18 estrazioni. Non a caso abbiamo scelto di calcolare la probabilità di sortita di un numero in 18 estrazioni. Questo perché 18 rappresenta l’inverso della frazione di probabilità favorevole dell’estratto semplice. Questa operazione ci indica quello che viene definito ritardo naturale, il ciclo teorico di frequenza della combinazione in esame, vale a dire l’intervallo entro il quale tutti i 90 numeri dovrebbero uscire dall’urna se il regolamento non prevedesse il reimbussolamento ad ogni estrazione di 5 numeri (infatti 5 x 18 = 90). Il ciclo teorico dell’estratto secco è quindi 18 estrazioni, mentre quello dell’ambo è 400,5 prove. Facciamo la stessa operazione con la probabilità che ha un ambo di sortire in un’estrazione qualsiasi di 400,5 consecutive:

1 - 0,367419 = 0,632581

La probabilità di veder sortire l’ambo scelto nell’ambito di 400,5 estrazioni è pari a circa il 63%. C’è una differenza di una unità percentuale rispetto a ciò che la matematica stabilisce per il ciclo dell’estratto. E’ una differenza che può sembrare insignificante ma che invece stabilisce che una certa diversità di comportamento deve esistere tra le due sorti considerate. Vedremo prossimamente.

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 2^ parte

Nell’articolo precedente abbiamo stabilito i valori di probabilità, favorevole e contraria, che si assegnano alle combinazioni dell’estratto semplice e dell’ambo su due numeri, questo limitatamente all’ambito di un ciclo teorico (18 estrazioni per l’estratto semplice e 400,5 estrazioni per l’ambo su due numeri). Ricordiamole:

ESTRATTO SU UN NUMERO

è prob. Favorevole

è prob. Contraria

AMBO SU DUE NUMERI

è prob. Favorevole

è prob. Contraria

Poniamoci ora le seguenti domande:

1) Dopo 18 prove, quanti numeri tra i 90 non saranno usciti?

2) Dopo 400,5 prove quanti ambi dei 4005 non saranno usciti?

Le risposte le troviamo nelle seguenti proporzioni:

1) (17 : 18)¹⁸ = x : 90 è x = 17¹⁸ x 90 : 18¹⁸ = 32,167…

2) (399,5 : 400,5)^400,5 = x : 4005 è x = 399,5^400,5 x 4005 : 400,5^400,5 = 1471,515…

Dopo 18 prove troviamo che circa 32 numeri tra i 90 saranno rimasti assenti (equivale a dire più o meno il 36%). Dopo 400,5 prove circa 1472 ambi tra i 4005 possibili non saranno usciti (quasi il 37%). Passiamo al ciclo successivo. Ovviamente gli esponenti diventano 36 (18 x 2) per l’estratto e 801 (400,5 x 2) per l’ambo:

Dopo due cicli teorici circa 11 numeri sui 90 iniziali e 541 ambi sui 4005 iniziali rimangono assenti. Ora se andassimo ad effettuare il rapporto tra gli assenti del secondo ciclo e quelli del primo ciclo avremo le stesse identiche percentuali assegnate dal calcolo delle probabilità al rapporto tra quelli del primo ciclo nei confronti del totale della massa considerata, cioè 90 per l’estratto e 4005 per l’ambo. Infatti:

ESTRATTO

AMBO

Se proseguissimo con il calcolo nel terzo ciclo, poi nel quarto e così via, otterremmo le stesse identiche proporzioni tra un ciclo e l’altro. Ebbene, sostanza delle cose è che per l’estratto la legge di probabilità stabilisce una ragione del 35,7% di assenze ciclo per ciclo e del 36,7% per l’ambo. Queste percentuali vengono "tradotte" non del tutto correttamente dagli studiosi come "un terzo" (forse perché è facile fare 90/3 oppure 4005/3) , cosa che come abbiamo visto non corrisponde alla realtà stabilita inequivocabilmente dalla matematica probabilistica. Il discorso comincia a farsi interessante, perché entriamo nel campo dei ritardi, i quali, visti dall’ottica di questo principio, evidenziano spunti molto interessanti, soprattutto per ciò che concerne la sorte dell’ambo. Se amate la verità matematica delle cose non mancate di visitare le nostre pagine prossimamente.

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 3^ parte

Sulla base di quanto finora detto possiamo quindi schematizzare il tutto in una tabella che contenga i valori delle residue combinazioni ciclo per ciclo, così come stabilito mediante il corretto calcolo delle probabilità. Partiamo ovviamente con l’estratto. Ricorderete che la probabilità favorevole dell’estratto semplice su un solo numero è pari ad 1/18, quindi un ciclo completo è di 18 estrazioni. In tale intervallo, se non ci fosse il reimbussolamento, tutti e 90 i numeri vedrebbero la luce, ma così non è; quindi in 18 estrazioni ci saranno numeri non sortiti affatto e numeri estratti una o più volte. Abbiamo visto che la matematica probabilistica ci indica una ragione di "assenze" ciclo per ciclo pari a circa il 35,7%. Supponendo allora un qualsiasi momento "zero" di inizio osservazione, i 90 numeri iniziali si palesano secondo la seguente progressione:

CICLO	ESTRAZIONI	PROBABILITA’	QUANTITA’ SORTITI	QUANTITA’ NON SORTITI
0	0	1	0	90
1	18	0,357417237	57,83244869	32,16755131
2	36	0,127747081	78,50276270	11,49723730
3	54	0,045659009	85,89068921	4,10931079
4	72	0,016319317	88,53126149	1,46873851
4,37	78,725237	0,011111111	89,00000001	0,99999999
5	90	0,005832805	89,47504754	0,52495246
6	108	0,002084745	89,81237294	0,18762706
7	126	0,000745124	89,93293886	0,06706114
8	144	0,00026632	89,97603119	0,02396881
9	162	9,51874E-05	89,99143313	0,00856687
10	180	3,40216E-05	89,99693805	0,00306195
11	198	1,21599E-05	89,99890561	0,00109439
11,22	202	9,67467E-06	89,99912928	0,00087072

Ai fini di una piena comprensione da parte dei lettori meno esperti, chiariamo il significato dei valori della tabella suesposta. Nella 1^ colonna abbiamo il progressivo dei cicli considerati, quantificato in estrazioni nella 2^ colonna; la 3^ colonna riporta un valore di probabilità, che è quello favorevole al verificarsi della NON estrazione dell’estratto entro il limite di prove evidenziato dalla riga corrispondente. Vale la pena soffermarci un attimo su questo punto facendo un esempio. Se consideriamo una quantità di 72 estrazioni consecutive, un numero ha una probabilità di NON sortire di 0,016319317 che, tradotto in percentuale, vuol dire circa l’1,63%. Ciò equivale a dire che un numero per estratto semplice su una ruota ha una probabilità di sortire in 72 estrazioni pari a 0,983680683, cioè circa il 98,37%. Chiaro? La 4^ colonna riporta la quantità di numeri sortiti dei 90 iniziali fino al raggiungimento del numero di prove della relativa riga. La 5^ colonna, infine, è quella "inversa" alla 4^, dal momento che riporta la quantità di numeri rimasti assenti fino a quel momento. Abbiamo poi evidenziato due righe in particolare. Quella relativa a circa 79 estrazioni (poco più di 4 cicli teorici) e quella relativa a 202 estrazioni (poco più di 11 cicli). Per quei pochi che non ne avranno compreso il motivo diciamo che circa 79 estrazioni è il cosiddetto ritardo "normale", cioè il tempo espresso in quantità di prove affinché rimanga teoricamente in piedi, vale a dire ancora da estrarre, una sola delle combinazioni iniziali (in proposito, per un approfondimento del significato di ritardo normale, si veda l’opera del Samaritani "La Teoria dei Ritardi"). 202 estrazioni invece rappresenta il ritardo massimo riscontrato nella pratica finora nella storia del gioco del Lotto, dal famoso 8 sulla ruota di Roma a cavallo tra gli anni ’30 e ’40 (l’unico caso ad andare oltre le 200 estrazioni di ritardo). C’è poi da chiarire i valori espressi dalla 9^ riga in poi della colonna relativa alla probabilità. Si tratta, com’è intuibile, di abbreviazioni. L’indice espresso dopo la "E" specifica la quantità di zeri da inserire prima delle cifre indicate a sinistra, uno dei quali ovviamente è indicato prima della virgola. Se ad esempio dopo la "E" si indica "05" vuol dire che il numero è 0,0000… (cioè 5 zeri totali, di cui uno prima della virgola). Questa comunque la corrispondenza tra i valori espressi nella tabella:

9,51874E-05 l'abbreviazione di 0,0000951874

3,40216E-05 è l’abbreviazione di 0,0000340216

1,21599E-05 è l’abbreviazione di 0,0000121599

9,67467E-06 è l’abbreviazione di 0,00000967467

Torniamo all’aspetto più tecnico di quanto andiamo esponendo, evidenziando come per quanto possiamo allungare a dismisura la quantità di prove ("N" tendente all’infinito), rimarrà sempre e comunque un minimo valore di probabilità residua, ciò a dimostrazione del fatto che la certezza dell’evento non esiste. Logicamente più cresce la quantità di prove e più è improbabile che si verifichi l’evento della NON estrazione, ma fino a che punto possiamo spingerci per avere il massimo grado di sicurezza di non imbatterci in quell’"alito" di probabilità residua? Secondo il grande Guido Manfredonia, che spesso si è occupato del problema dei massimi ritardi teorici, interpretando la legge unica del Caso, "gli eventi che hanno una probabilità sufficientemente piccola non si verificheranno mai". Ma "sufficiente" che vuol dire? A quante prove corrisponde la sufficienza minima? Secondo lo scomparso esperto la probabilità trascurabile nel gioco del Lotto si aggira intorno ad 1/1.000.000, e questo valore, relativamente alla sorte dell’estratto su un numero, lo si ottiene intorno alle 242 estrazioni di ritardo (poco più di 13 cicli). Sarà questo il massimo teorico possibile, il limite oltre il quale è quasi impossibile andare? Nessuno può dirlo, la teoria delle probabilità ammette le cosiddette fluttuazioni, casi cioè che possono sconfinare quelli che sono i limiti "aspettabili". Certo è che su scala umana, nell’arco di vita di un giocatore ben difficilmente si assisterà a casi che superino le 180/200 estrazioni di ritardo. In proposito basti pensare che su un totale di circa 300.000 numeri finora estratti nella storia di più di 7000 prove effettuate si sono riscontrati solo 8 casi di numeri che hanno raggiunto o superato quota 180 estrazioni di ritardo, e solo una trentina hanno raggiunto o superato le 160. Per ora, ai fini delle nostre dissertazioni sull’argomento che stiamo trattando, ci atteniamo ai fatti realmente accaduti, verificatisi statisticamente, pertanto rileviamo che la legge di probabilità ci dice che alla 202^ estrazione di ritardo, dei 90 numeri iniziali ne "rimangono" teoricamente 0,00087072. Tenete presente questo valore, ci servirà per una sorta di comparazione che effettueremo più avanti. La prossima volta cercheremo di discutere della sorte dell’ambo secco, non mancate di visitarci!

Antonio FIACCO

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 4^ parte

Il 23 Ottobre del 1941, tra gli altri, sulla ruota di Roma uscì il numero 8. Tuttora questo evento è ricordato dalla totalità degli addetti ai lavori, e il perché lo saprete certamente. Questo numero uscì in seguito ad una serie di estrazioni negative che durò per ben 202 prove. All’epoca si disse che Mussolini in persona diede ordine di far "togliere" il bussolotto dell’8 (fa pure rima!) dall’urna perché le entrate che derivavano dalle continue puntate dei giocatori su questo numero servivano per alimentare le disastrate casse dello Stato, provate dall’impegno bellico. Ovviamente era pura fantasia, se solo si pensa che prima delle famose 202 estrazioni c’erano stati diversi casi di numeri che avevano tardato a vedere la luce per 180/190 e più estrazioni di seguito. Ma si era in altri tempi, e forse anche la cultura specifica di non eccelso livello faceva evidentemente la sua parte sulla credulità popolare.

Se eleviamo alla 202^ potenza il valore di probabilità sfavorevole dell’estratto semplice otteniamo:

Questo valore indica la probabilità che un numero per estratto NON esca per 202 prove consecutive. Tradotto in termini più semplici, se ci si domanda a priori quante probabilità si hanno di cogliere almeno un successo con un numero in 202 estrazioni, la risposta è:

1 – 0,00000967 = 0,99999033;

Vale a dire che mediamente 999.990 volte su 1.000.000 si coglierà il successo in 202 prove. E’ una probabilità altissima, assimilabile ad una "quasi" certezza, ma che però non preserva il giocatore da forti delusioni. D’altronde basta pensare che per avere più del 50% di probabilità di cogliere un successo di estratto su un numero a ruota bastano teoricamente solo 13 estrazioni:

Nell’ambito di un intero ciclo teorico di frequenza, vale a dire 18 estrazioni, come lo si può evincere facilmente dando uno sguardo alla tabella pubblicata nel precedente articolo, la probabilità di cogliere il successo sale a più del 64%.

La scorsa volta vedemmo come in corrispondenza della 202^ estrazione negativa, mediante il calcolo delle probabilità, si può dire che in teoria dovrebbero rimanere 0,00087072 "numeri" dei novanta iniziali. Dicemmo poi che questo valore possiamo assumerlo empiricamente come riferimento per eventuali confronti con altre sorti. In pratica ci domandiamo: se per l’estratto si è giunti ad una "rimanenza" di 0,00087072 numeri in corrispondenza del massimo ritardo statistico di 202 estrazioni, questo stesso residuo in corrispondenza di quale ritardo trova riferimento per le altre sorti? Riferiamoci alla combinazione più giocata in assoluto, quella dell’ambo. La seguente tabella è identica a quella mostrata nel precedente servizio. Ovviamente sono cambiati i parametri di base perché cambia il valore di probabilità:

CICLO	ESTRAZIONI	PROBABILITA’	QUANTITA’ SORTITI	QUANTITA’ NON SORTITI
0	0	1	0	4005
1	400,5	0,367419688	2533,484151000	1471,515849000
2	801,0	0,134997227	3464,336106700	540,663893300
3	1201,50	0,049600639	3806,349441200	198,650558800
4	1602,00	0,018224251	3932,011873770	72,988126230
5	2002,50	0,006695949	3978,182725460	26,817274540
6	2403,00	0,002460223	3995,146805369	9,853194631
7	2803,50	0,000903935	4001,379742307	3,620257693
8	3204,00	0,000332123	4003,669846050	1,330153950
8,28	3318,1172	0,000269688	4004,000000010	0,999999990
9	3604,50	0,000122029	4004,511275251	0,488724749
10	4005,00	4,48357E-05	4004,820432905	0,179567095
11	4405,50	1,64735E-05	4004,934023514	0,065976486
12	4806,00	6,05270E-06	4004,975758940	0,024241060
12,32	4936,00	4,37324E-06	4004,982485174	0,017514826
13	5206,50	2,22388E-06	4004,991093357	0,008906643
14	5607,00	8,17098E-07	4004,996727524	0,003272476
15	6007,50	3,00218E-07	4004,998797628	0,001202372
15,32	6136,60	2,17408E-07	4004,999129380	0,000870720

Nota: gli zeri dopo l’ultima cifra di alcuni valori sono stati inseriti per dare uniformità alle colonne della tabella.

Come per la tabella dell’estratto, abbiamo analizzato la situazione stabilita dalla teoria ciclo per ciclo, inserendo dove utile degli "intermedi". Possiamo notare ad esempio che il cosiddetto Ritardo Normale dell’ambo è fissato in circa 3318 estrazioni, corrispondenti a 8,28 cicli teorici, mentre per l’estratto esso è pari a 4,37 cicli. Già questa semplice constatazione può servire a qualcosa, perché si dimostra che la pretesa di stabilire il massimo ritardo teorico di ogni combinazione esprimendolo con una quantità invariabile di cicli di assenza è fuorviante. I nostri nonni, ma anche i nostri padri (e ancora oggi qualche nostro contemporaneo) pretesero di stabilire in 10/11 cicli il ritardo massimo teorico di ogni combinazione. Poi qualcuno disse che si poteva arrivare anche a 12. Tradotto in estrazioni, si affermava quindi che l’estratto poteva arrivare ad un ritardo massimo compreso tra 198 (11 cicli) e 216 (12 cicli). Per l’ambo si poteva stabilire un massimo teorico compreso tra 4405 (11 cicli) e 4806 (12 cicli). In realtà questo modo di operare soddisfa fino ad un certo punto, perché se da un lato è vero che i massimi statistici finora incontrati rientrano più o meno in questi intervalli (202 l’estratto e 4936 l’ambo), dall’altro bisogna rilevare che non c’è alcuna legge matematica che vieti il superamento di questi limiti, tant’è vero che altri tipi di combinazioni hanno superato di parecchi cicli questi limiti empirici. La differenza sta nel fatto che le combinazioni "secche" (l’estratto su un numero, l’ambo su due numeri e così via) sono diverse da quelle "complesse" (estratto su più numeri etc.), quindi il criterio empirico, dettato solo ed esclusivamente dalla constatazione che quei limiti statisticamente non si sono quasi mai verificati, possiamo accettarlo in via di massima per le combinazioni semplici ma non per quelle complesse. Ma anche questo è discutibile.

All’inizio degli anni ’80 si stava mettendo in evidenza nella tabella dei ritardi dell’ambo la coppia costituita dai numeri 44 e 80, la cui assenza su una qualsiasi delle dieci ruote si stava approssimando ai limiti statistici prima conosciuti. In precedenza si erano avuti casi che avevano raggiunto le 534 e le 584 estrazioni di ritardo. Si disse che quei limiti erano da considerarsi quasi "invalicabili". Il ciclo teorico di frequenza dell’ambo su Tutte è di 40,05 estrazioni. Già quei due casi avevano sfondato il tetto dei 13 e dei 14 cicli di assenza, peraltro in tempi abbastanza "recenti", quindi non ci si poteva aspettare che un rapido azzeramento del ritardo dell’ambo 44-80. Ebbene, sostanza delle cose è che quell’ambo raggiunse la ragguardevole quota di 631 estrazioni di assenza prima di uscire dall’urna. Vale a dire quasi 16 cicli di ritardo. Usando il ragionamento alla Samaritani, volendo rapportare il ritardo di 631 prove ad una sola ruota, sarebbe come avere un ambo che tardi su una ruota per 6310 estrazioni!

In seguito si disse che si trattava di una enorme eccezione e che un ritardo del genere probabilmente non si verificherà più, almeno per qualche secolo. Non saremmo pronti a giurarci su questo. Facciamo intanto notare che quel ritardo assume nuova logica se il calcolo del massimo teorico viene fatto rapportandolo alla quantità residua dell’estratto secco in corrispondenza del relativo massimo statistico:

RESIDUO ESTRATTO: 0,00087072 è 202 estrazioni

RESIDUO AMBO: 0,00087072 è 6136,6 estrazioni

Potremmo sbagliarci, ma possiamo stabilire il limite teorico dell’ambo a ruota nella quota suesposta. Ovviamente, per dedurre il ritardo massimo teorico dell’ambo su Tutte con il ragionamento di Samaritani, dividendo per 10 si ottiene:

6136 / 10 = 613,6;

E’ un valore molto più prossimo alla realtà statistica dell’ambo secco a Tutte di quelli finora considerati. Ma c’è qualcosa da correggere, il ragionamento della divisione per 10 non è del tutto esatto. Allora la prossima volta vedremo la tabella dell’ambo a Tutte e ne scopriremo ancora delle belle…

Antonio FIACCO

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 5^ parte

Dopo aver visto le tabelle relativamente alle sorti dell’estratto singolo e dell’ambo secco, in questa occasione ci occupiamo della sorte dell’ambo a Tutte. I valori di probabilità favorevole e contraria di questa combinazione sono i seguenti:

Se ne deduce che il Ritardo Naturale, cioè il cosiddetto ciclo teorico, è di 40,05 estrazioni. Come abbiamo accennato negli scorsi appuntamenti, il ritardo massimo statisticamente registrato per questa combinazione è stato di 631 estrazioni. Questa quantità di estrazioni negative corrisponde a circa 15,15 volte il ciclo teorico di frequenza.

Ma vediamo la solita tabella:

CICLO	ESTRAZIONI	PROBABILITA’	QUANTITA’ SORTITI	QUANTITA’ NON SORTITI
0	0	1	0	4005,000000000
1	40,05	0,363238303	2550,230598000	1454,769402000
2	80,10	0,131942065	3476,572031700	528,427968300
3	120,15	0,047926412	3813,054721700	191,945278300
4	160,20	0,017408708	3935,278122920	69,721877080
5	200,25	0,006323510	3979,674343710	25,325656290
6	240,30	0,002296941	3995,800751596	9,199248404
7	280,35	0,000834337	4001,658480624	3,341519376
8	320,40	0,000303063	4003,786232174	1,213767826
8,19	328,07	0,000249635	4004,000212615	0,999787385
9	360,45	0,000110084	4004,559113030	0,440886970
10	400,50	3,99868E-05	4004,839852967	0,160147033
11	440,55	1,45247E-05	4004,941828464	0,058171536
12	480,60	5,27594E-06	4004,978869870	0,021130130
13	520,65	1,91642E-06	4004,992324727	0,007675273
14	560,70	6,96118E-07	4004,997212047	0,002787953
15	600,75	2,52857E-07	4004,998987309	0,001012691
15,15	606,72	2,17428E-07	4004,999129202	0,000870798
15,32	631,00	1,17675E-07	4004,999528711	0,000471289

Anche in questo caso abbiamo evidenziato con colore diverso le celle che riportano valori particolarmente interessanti. Innanzitutto il Ritardo Normale dell’ambo secco a Tutte è attestato intorno alle 328 estrazioni (circa 8,2 cicli). Abbiamo poi evidenziato la riga corrispondente a 15,15 cicli di assenza (circa 607 estrazioni) perché il valore delle residue combinazioni (0,0008707…) corrisponde grossomodo al residuo raggiunto dalla sorte dell’estratto semplice in concomitanza del massimo ritardo raggiunto da questa combinazione (202 estrazioni).

La scorsa volta effettuammo una comparazione di massima tra il residuo dell’estratto semplice e quello dell’ambo a ruota, evidenziando che il ritardo di 202 estrazioni dell’estratto corrisponde a circa 6136 per l’ambo a ruota. Da questo valore poi, ragionando alla Samaritani (dividendo per 10 il ritardo dell’ambo a ruota), concludemmo che l’ambo a Tutte poteva tardare per 613 estrazioni. Un valore molto prossimo a quello che si è poi verificato statisticamente.

Ma riprendiamo i valori delle residue combinazioni in corrispondenza dei massimi ritardi registrati relativamente alle tre combinazioni finora analizzate:

	RESIDUO	RITARDO
ESTRATTO	0,00087072	202
AMBO A RUOTA	0,017514826	4936
AMBO A TUTTE	0,000471289	631

Come possiamo notare facilmente, il residuo più basso è stato raggiunto dall’ambo a Tutte. E’ a questo allora che ci riferiamo per la comparazione con le altre sorti. In pratica: se l’ambo a Tutte ha raggiunto un ritardo di 631 estrazioni in corrispondenza del quale si aveva un residuo ancora da "estrarre" pari a 0,000471… combinazioni, rapportando questo stesso residuo alla sorte dell’ambo a ruota e a quella dell’estratto semplice quale ritardo si sarebbe ottenuto? Ecco la corrispondenza:

	RESIDUO	RITARDO
ESTRATTO	0,000471	213
AMBO A RUOTA	0,000471	6382
AMBO A TUTTE	0,000471	631

Come si vede, se da un lato abbiamo uno scostamento leggero per ciò che concerne il ritardo dell’estratto semplice (202 contro 213), dall’altro abbiamo una differenza notevolissima per quanto riguarda il ritardo dell’ambo a ruota (4936 contro 6382).

Quali conclusioni possiamo trarre? Che se un ambo a Tutte è arrivato a toccare le 631 assenze, nulla vieta che un ambo a ruota possa arrivare a toccare le 6382 estrazioni e che un estratto potrebbe anche toccare le 213, senza che questi ritardi debbano creare "scandalo".

Antonio FIACCO

- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 6^ parte

bassa probabilità = non impossibilità

Il recentissimo caso del ritardo nella riproduzione dell’ambo a Tutte nella terzina 26-41-88 ha suscitato non poca meraviglia presso gli addetti ai lavori, oltre che presso alcuni giocatori. Questa terna di numeri infatti ha tardato per ben 288 estrazioni consecutive, prima di tornare a fornire la coincidenza binaria su una qualsiasi delle dieci ruote. Questo ritardo, a priori, sarebbe stato certamente giudicato quasi impossibile da riscontrare, e ciò per diversi motivi.

Primo perché, obiettivamente, si è trattato di un livello di assenza che si può definire realmente eccezionale, molto fuori dalla norma e al di là di ogni ragionevole e prudente previsione. Il secondo motivo è quello che si veniva già da un record stabilito con la terzina che cronologicamente precedeva quella super ritardata che abbiamo detto. La terzina 48-53-72 stabilì infatti il record uscendo il 10.10.2001 dopo un’assenza durata 232 estrazioni (incrementando di 9 lunghezze quello che era il massimo fino ad allora conosciuto). Il suo posto in testa alla graduatoria di riferimento fu preso dalla 26-41-88, testa della graduatoria che questa terzina non avrebbe più mollato fino al 14.12.2002, stabilendo tra l’altro (se le nostre analisi non ci ingannano) anche il massimo ritardo relativo per formazioni del genere: 125 estrazioni al primo posto della graduatoria. Inoltre anche il rapporto fra il ritardo cronologico e quello relativo ha rappresentato, se non erriamo, un record assoluto, con un indice pari a 125/288 = 0,434.

Con una similitudine che forse rende meglio l’idea, è come se dopo il famoso 8 di Roma, che nel 1941 terminò la sua corsa al contrario dopo un’assenza di ben 202 estrazioni, il numero che ne prese il posto in prima posizione della graduatoria dei ritardi di ruota avesse stabilito anch’egli il record, andando ben oltre quanto stabilito dal suo predecessore.

Chi scommetterebbe un centesimo che si possano verificare cose del genere? Nessuno o quasi.

C’è peraltro da notare che il "caso" è passato quasi "inosservato" presso la maggior parte dei giocatori, nonché dei presunti studiosi. Come mai? Si fosse trattato di un numero che avesse raggiunto le 200 estrazioni di ritardo, mettiamo la mano sul fuoco (anzi, tutt’e due!), si sarebbe gridato allo scandalo, ad una manovra per spillare soldi ai giocatori, si sarebbe certamente ipotizzato di una truffa da parte del Banco o di chissà cos’altro. E non parliamo delle sciocchezze che saremmo stati costretti a leggere, ad opera di una moltitudine di sedicenti studiosi. Eppure le 200 estrazioni di ritardo eventualmente raggiunte da un estratto sarebbero solo parzialmente paragonabili alle 288 raggiunte da questa terzina. Pensate un po’!

Effettivamente la probabilità che si verifichino casi del genere è molto bassa, ma il fatto stesso che queste probabilità così basse abbiano poi trovato riscontro nella realtà oggettiva delle estrazioni dovrebbe far riflettere il giocatore che fonda le proprie fortune sui ritardi:

il fatto che certi eventi siano altamente improbabili

non deve significare si tratti di impossibilità!

Troppo spesso invece si preferisce pensare che certe cose siano impossibili da riscontrare (ricordate che anche l’acqua calda può ghiacciare…), forse per una sorta di autoconvincimento indotto dalla paura di trovarsi impelagati proprio in quel caso fuori dalla norma e che magari si sta seguendo. E’ un comportamento rischioso, che può portare alla rovina, perché prima o poi un caso del genere lo si potrà trovare sulla propria strada.

Ma vediamo perché il ritardo di 288 estrazioni di una terzina per ambo a Tutte è un caso fuori dalla norma (e ciò non vuol dire che a priori sarebbe stato giudicato impossibile a verificarsi).

La probabilità dell’ambo in terzina a Tutte è di:

è è

Se ne deduce che il Ritardo Medio di Attesa è pari a:

1/0,07084 = 14,12 estrazioni

E’ quello che comunemente viene definito come "ciclo teorico". Da notare che da altre parti questo tempo viene quantificato in 13,66 estrazioni. E’ evidente che la differenza è data dal fatto che si segue un altro procedimento per il calcolo della probabilità dell’ambo in terzina a Tutte. I valori della "nostra" probabilità e del "nostro" ciclo teorico sono comunque quelli suesposti, e quindi su questi ci basiamo.

Il solo dato relativo alla probabilità oggettiva dovrebbe già dare da pensare, perché la matematica ci dice inequivocabilmente che è più semplice agganciare un ambo a Tutte giocando 3 numeri che non un estratto su un numero a ruota (la cui probabilità è, notoriamente, di 0,05556). Allora si dovrebbero riscontrare ritardi proporzionalmente minori, vi pare? Ma ciò non traspare affatto dall’analisi statistica sulle estrazioni effettuate finora dal 1871, se è vero com’è vero che il massimo ritardo per un estratto a ruota è stato di "sole" 202 estrazioni!

Andiamo ad osservare la solita tabella di riferimento (per la spiegazione più dettagliata vedasi articoli precedenti):

CICLO	ESTRAZIONI	PROBABILITA’	VALORE MASSA ESTRATTA	VALORE MASSA RESIDUA
0	0	1	0	117480
1	14,12	0,354354486	75850,435000000	41629,565000000
2	28,24	0,125567102	102728,376900000	14751,623100000
3	42,36	0,044495266	112252,696179000	5227,303821000
4	56,48	0,015767097	115627,681442000	1852,318558000
5	70,60	0,005587142	116823,622609700	656,377390300
6	84,72	0,001979829	117247,409727300	232,590272700
7	98,84	0,000701561	117397,580593510	82,419406490
8	112,96	0,000248601	117450,794313590	29,205686410
9	127,08	0,000088093	117469,650834010	10,349165990
10	141,20	0,0000312162	117476,332726605	3,667273395
11	155,32	0,0000110616	117478,700485222	1,299514778
11,25	158,89	0,00000850943	117479,000312350	0,999687650
12	169,44	0,00000391972	117479,539511109	0,460488891
13	183,56	0,00000138897	117479,836823696	0,163176304
14	197,68	0,000000492188	117479,942177745	0,057822255
15	211,80	0,000000174409	117479,979510424	0,020489576
16	225,92	0,0000000618026	117479,992739427	0,007260573
17	240,04	0,0000000219000	117479,997427183	0,002572817
18	254,16	0,00000000776038	117479,999088311	0,000911689
19	268,28	0,00000000274992	117479,999676939	0,000323061
20	282,40	0,000000000974448	117479,999885522	0,000114478
20,40	288	0,000000000645752	117479,999924138	0,000075862

Al solito abbiamo evidenziato le due righe che riportano i valori fondamentali, vale a dire quello del Ritardo Normale e quello del Ritardo Massimo Statistico.

Notate che la percentuale di presenze e assenze ciclo dopo ciclo sia determinato in ragione del 35,44%. Ma ciò che ci preme far notare in questo articolo non è questo. La casella che riporta il valore più importante di tutti quelli contenuti nella tabella è l’ultima in basso a destra, cioè il Valore di Massa Residua (in seguito lo indicheremo con la sigla VMR) in corrispondenza delle 288 estrazioni di ritardo raggiunte dalla terzina 26-41-88:

0,000076

Abbiamo arrotondato alla 6^ cifra decimale. Come si vede siamo a livelli ben più bassi dello 0,000471 "record" fatto segnare dalla sorte dell’ambo secco a Tutte in corrispondenza delle famose 631 estrazioni di ritardo. Ricordiamo che nell’articolo precedente abbiamo evidenziato come, ipotizzando la stessa quantità di massa residua, per l’estratto e per l’ambo a ruota si sarebbero avuti ritardi rispettivamente di 213 e 6382 estrazioni.

Allora, alla stregua di quanto fatto nel precedente articolo, abbiamo provveduto ad effettuare un confronto con le altre combinazioni già analizzate. In pratica, se lo stesso VMR fosse stato raggiunto dalle altre combinazioni, quale ritardo si sarebbe ottenuto per ciascuna di loro?

Ecco la corrispondenza:

COMBINAZIONE	RESIDUO	RITARDO
ESTRATTO S.	0,000076	244
AMBO S. A RUOTA	0,000076	7113
AMBO S. A TUTTE	0,000076	711
AMBO IN T. A TUTTE	0,000076	288

Dopo aver letto queste cose, e dopo aver assistito ad un ritardo di 288 estrazioni per un ambo in terzina a Tutte, probabilmente non vi meraviglierete se in futuro doveste imbattervi in un estratto che dovesse tardare fino a 244 estrazioni, in un ambo secco a Tutte che raggiungesse le 711 assenze o che un ambo secco a ruota si spingesse fino al limite di oltre 7100 estrazioni. Ci auguriamo, ovviamente, che queste eccezioni possano non verificarsi mai, ma nel caso dovessimo riscontrarle sappiamo già che c’è un precedente probante: la "indimenticabile" terzina 26-41-88.