martedì 28 marzo 2017

APPUNTI DI SISTEMISTICA (quattordicesima parte)

SISTEMI DERIVATI DAL RIDOTTO PERFETTO DI 4 TRIPLE

I seguenti sistemi derivano dal ridotto perfetto di 4 triple per semplice aggiunta di doppie e triple integrali:
4 triple e 1 doppia, ridotto n-1 col. 18 (moltiplicazione del 4t per una doppia integrale)
4 triple e 2 doppie, ridotto n-1 col. 36 (moltiplicazione del 4t per due doppie integrali)
4 triple e 3 doppie, ridotto n-1 col. 72 (moltiplicazione del 4t per tre doppie integrali)
5 triple, ridotto n-1 col. 27 (moltiplicazione del 4t per una tripla integrale)
5 triple e 1 doppia, ridotto n-1 col. 54 (moltiplicazione del 4t per una tripla e 1 doppia integrali)
Tralascio ogni ulteriore commento: la loro realizzazione è assolutamente banale e non dovrebbe presentare, ormai, nessuna difficoltà per chi segue queste note da un po' di tempo.
Più interessanti sono, invece, i seguenti due sistemi, che derivano sempre dal ridotto di 4 triple:
3 triple e 3 doppie col. 24
2 triple e 6 doppie col. 64
Per ottenere questi sistemi è sufficiente trasformare, nel ridotto perfetto di 4 triple, una tripla (o due triple) in tre doppie.
Infatti i 3 ridotti di una tripla che vengono agganciati alle matrici di 3 triple nel sistema suddetto, possono essere sostituiti con una qualsiasi altra serie completa di ridotti, purchè questi siano scomponibili in almeno 3 parti.
Si abbia dunque una qualsiasi serie di 3 matrici di 3 triple:
1
X
2

1
X
2

1
X
2
1
X
2

X
2
1

2
1
X
1
X
2

2
1
X

X
2
1
M1

M2

M3
Già conosciamo i 4 ridotti perfetti di 3 doppie: poichè nel 4 triple i ridotti d'aggancio sono 3 e i ridotti di 3 doppie sono 4, raggrupperemo due di questi in un unico ridotto di 4 colonne:
1
X
X
1

1
X

1
X
1
X
1
X

X
1

1
X
1
X
1
X

1
X

X
1
R1




R2


R3

Per eseguire materialmente la moltiplicazione di una matrice per il ridotto ad essa abbinato occorrerà scrivere la matrice abbinandovi sotto la prima colonna del ridotto, quindi rieseguire la stessa operazione abbinando la seconda colonna del ridotto etc.
Lo schema per moltiplicare tra loro matrici e riduttori già lo conosciamo (vedere, a titolo di paragone, il sistema di 7 doppie):
4 triple

Matrici

M1

M2

M3
3 doppie

Riduttori

R1

R2

R3
Il risultato finale delle moltiplicazioni è il seguente sistema di 3 triple e 3 doppie, di 24 colonne:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
1
1
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X

1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
X
2
1
X
2
1
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
X
2
1
X
2
1
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
X
X
X
1
1
1

Per individuare le moltiplicazioni di matrici per riduttori occorre fare riferimento ai colori (rosso, blu, nero).
Questo tipo di operazione appena eseguita viene comunemente definita trasformazione di una tripla in tre doppie.
Il ridotto di 2 triple e 6 doppie col. 64 deriva dal precedente 3t3d per trasformazione di un'altra tripla in tre doppie (nel nostro esempio utilizzeremo la terza tripla).

Il risultato finale propone per il 2 triple e 6 doppie il seguente sviluppo di 64 colonne:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X

X
X
X
X
X
X
X
X
2
2
2
2
2
2
2
2
X
X
X
X
X
X
X
X
2
2
2
2
2
2
2
2
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
X
1
X
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X

1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
2
2
2
2
X
X
X
X
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
X
1
X
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
X
X
X
X
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
X
X



1
1
1
1
X
X
X
X
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
1
X
X
1
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
Entrambi i sistemi ora presentati mantengono il rapporto di riduzione 9 del perfetto di 4 triple da cui derivano.
Va segnalata una curiosità: trasformando 3 triple in altrettanti gruppi di 3 doppie ( = 9 doppie in totale), dal ridotto perfetto di 4 triple si ottiene anche il seguente sistema:
1 tripla e 9 doppie colonne 168 (R.R. 9,1428571)
che supera il R.R. 9 del perfetto da cui deriva.
Non presenterò questo sistema (A. Musso, 1951) perché superato: l'attuale primato è ora di 160 colonne.
Inoltre, con le conoscenze fin qui acquisite, la sua realizzazione pratica non dovrebbe presentare particolari problemi
Potrebbe anzi trattarsi, per chi lo desiderasse, di un utile esercizio allo scopo di impratichirsi nella moltiplicazione colonnare appena vista: basterà aver cura di sfruttare lo sbilanciamento dei ridotti di 3 doppie (uno di 4 colonne e gli altri due di 3 colonne).
UNA SERIE DI PICCOLI SISTEMI BIRIDOTTI
Già siamo a conoscenza dell'esistenza di alcuni sistemi biridotti perfetti (10° puntata): oggi, come allora, sarebbe prematuro iniziare lo studio del biridotto perfetto di 11 triple.
Pertanto esamineremo, prima di tutto, altri piccoli sistemi biridotti di facile costruzione.
Data la loro evidente semplicità, per cinque di questi si evita di pubblicarne lo sviluppo.
6 doppie colonne 4
Deriva dal biridotto di 5 doppie, già presentato, per aggiunta di una doppia integrale.
1 tripla e 4 doppie col. 3
Deriva dal biridotto perfetto di 5 doppie, già presentato, per trasformazione di una doppia in tripla.
1 tripla e 5 doppie col. 6
Deriva da 1T4D per aggiunta di una doppia integrale.

2 tripla e 3 doppie col. 4
Deriva da 1T4D col. 3 per trasformazione di una doppia in tripla (avendo cura di effettare la trasformazione in tripla tramite il segno presente una sola volta su una determinata riga).

4 triple col. 3
Si ottiene da una qualsiasi matrice di 3 triple, abbinando a ciascuna colonna un diverso ridotto di una tripla. Ad esempio:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
X
2

4 triple e 1 doppia col. 6
Deriva dal biridotto di 4t per aggiunta di una doppia integrale.

*******************************************************************************

2 triple e 4 doppie col. 6 (R.B. 24) R.B = Rapporto di Biriduzione
Questa soluzione comincia ad essere più interessante.
Si abbia un qualsiasi ridotto n-1 di 2t2d col. 6, per esempio:
1
1
X
X
2
2
1
1
X
2
X
2
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
X
1
Dividiamo ora queste 6 colonne in due gruppi (matrici), selezionandole in base al segno dell'ultima doppia. Avremo:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
2
X
1
X
X
X
1
1
1
1
1
X
X
X
M1
M2

Abbiniamo ora a ciascuna matrice un biridotto perfetto di una doppia, avendo cura di sceglierne 2 opposti, quindi:
1
1
e
X
X
oppure
X
1
e
1
X

Il biridotto di 2t4d col. 6 sarà pertanto:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
2
X
1
X
X
X
1
1
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
X
oppure:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
1
2
X
1
X
X
X
1
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
Entrambe le soluzioni sono perfettamente equivalenti.

Di seguito una serie di sistemi che si ottengono con la medesima tecnica del precedente 2t4d:
si divide il corrispondente ridotto n-1 (diminuito di due doppie) in due matrici, abbinando a ciascuna di esse un biridotto di 2d, ma scegliendoli in modo che abbiano i segni opposti l'uno con l'altro.

1 tripla e 6 doppie col. 8 (R.B. 24)
1
1
X
2
1
1
X
2
1
X
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X

7 doppie col. 7 (R.B. 18,285714)
X
X
X
1
X
1
1
X
1
1
X
X
X
1
X
X
X
1
1
X
1
1
X
1
X
X
X
1
1
1
1
1
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1

8 doppie col. 12 (R.B. 21,333333)
X
1
1
X
X
X
1
1
1
X
X
1
1
X
1
X
X
X
1
1
1
X
1
X
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
1
1
1
X
1
1
X
X
1
X
X
X
1
1
1
1
X
1
X
1
X
X
X
X
1
1
1
1
1
X
1
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1

9 doppie col. 16 (R.B. 32)
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
X
1
1
X
1
X
X
1
1
X
1
X
1
X
1
X
1
X
X
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
1
X
X
X
X
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X

3 triple e 2 doppie col. 5 (R.B. 21,6)
La tecnica per ottenerlo è lievemente più complessa della precedente; il sistema deriva da una qualsiasi 
matrice di 3 triple. Si abbia per esempio:
1
X
2
1
X
2
1
X
2
con la quale costruiremo 3 gruppi (a,b,c), i primi due di 2 col. ed il terzo di una colonna:
1
1
X
X
2
1
1
X
X
2
1
1
X
X
2
1
X
X
X
1
1
1
1
X
X

La monotermine 1 rappresenta (minimo n-2) 19 colonne di 3t: restano scoperte le 8 che non contengono segni 1, ma queste trovano copertura in b oppure in c.
Analogamente la monotermine X rappresenta (minimo n-2) 19 colonne di 3t, restano escluse le 8 che non contengono segni X, ma queste trovano copertura in a oppure in c.
Infine la monotermine 2 rappresenta (minimo n-2) 19 colonne di 3t, restano escluse le 8 che non contengono segni 2, ma queste trovano copertura in a oppure in b.
-

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